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      <title>基础算法思想 |  Sword Heart</title>
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  基础算法思想
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  <p id="hitokoto">正在加载一言...</p>

<p><a target="_blank" rel="noopener" href="https://programmercarl.com/">讲解算法比较好的博客</a></p>
<h2 id="一、动态规划"><a href="#一、动态规划" class="headerlink" title="一、动态规划"></a>一、动态规划</h2><h3 id="1、动态规划定义"><a href="#1、动态规划定义" class="headerlink" title="1、动态规划定义"></a>1、动态规划定义</h3><p>​        如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策，每一个阶段都有若干个策略可供选择，一个阶段的策略确定以后，形成了本阶段的决策，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则称它为<strong>多阶段决策问题</strong>。</p>
<p>当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。在多阶段决策问题中，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化的过程为<strong>动态规划方法</strong>。</p>
<p>​        动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，分治法基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解，但是分治法里子问题之间往往是互相独立的，可以并行求解。</p>
<h3 id="2、动态规划的解题步骤"><a href="#2、动态规划的解题步骤" class="headerlink" title="2、动态规划的解题步骤"></a>2、动态规划的解题步骤</h3><p>对于一个动态规划题目，有没有什么比较通用的求解步骤呢？可以采用下面的办法：</p>
<p>1、确定状态转移公式，当前的状态是怎么由前面的状态变化而来的及其与之相关联的辅助的dp数组（dp table）以及下标的含义。这一步往往也是最难的，这一步想清楚了，整个动态规划的问题基本上可以说就解决了一大半。一般来说，首先要确定dp数组中元素代表的意义，然后在这个意义之下，确定状态是如何在dp数组的元素之间如何变化的。</p>
<p>2、初始化dp数组。</p>
<p>3、根据题目条件开始遍历，并实现状态转移公式。</p>
<p>同时在实现的过程中，可以适当的输出dp数组的值，确定自己的代码实现思路无误。具体怎么做，我们用一个实际的题目来说明。</p>
<h3 id="3、什么样的问题适合用动态规划？"><a href="#3、什么样的问题适合用动态规划？" class="headerlink" title="3、什么样的问题适合用动态规划？"></a>3、什么样的问题适合用动态规划？</h3><p>什么样的问题适合用动态规划来解决呢?换句话说,动态规划能解决的问题有什么规律可循呢?</p>
<p>我们在前面所说的动态规划的定义就已经包含了这个问题的答案。它指的是动态规划适合解决的问题的模型就是“ 多阶段决策最优解模型”。</p>
<p>我们一般是用动态规划来解决最优问题。而解决问题的过程,需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应着一组状态。 然后我们寻找一组决策序列 ,经过这组决策序列,能够产生最终期望求解的最优值。</p>
<p>而这个模型同时具备三个特征， 它们分别是最优子结构、无后效性和重复子问题。这三个概念比较抽象,我来逐一详细解释一 下。</p>
<p>1.最优子结构</p>
<p>最优子结构指的是,问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是,我们可以通过子问题的最优解,推导出问题的最优解。如果我们把最优子结构,对应到我们前面定义的动态规划问题模型上,那我们也可以理解为,后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出来，前面的背包问题中，大背包的最优解需要通过小背包的最优解推导出来。</p>
<p>2.无后效性</p>
<p>无后效性有两层含义,第一层含义是,在推导后面阶段的状态的时候,我们只关心前面阶段的状态值,不关心这个状态是怎么一步一步推导出来的。 第二层含义是,某阶段状态一旦确定,就不受之后阶段的决策影响，这一点在背包问题中也很明显，小背包的解确定了，后面的大背包怎么解跟小背包没什么关系了，而且大背包在求解过程中使用小背包的解时，也不关心小背包的解怎么来的，都是直接使用。</p>
<p>3.重复子问题</p>
<p>我们在求解后面的阶段时，往往需要对前面的阶段反复求解，也就是有些子问题的求解是重复的。所以动态规划算法通常这样利用重复子问题性质：对每个子问题求解一次， 将解存入一个表中，当再次需要这个子问题时直接查表，每次查表的代价为常量时间。从前面的背包问题中也可以看到这一点。</p>
<h2 id="二、回溯"><a href="#二、回溯" class="headerlink" title="二、回溯"></a>二、回溯</h2><h3 id="1、什么是回溯法"><a href="#1、什么是回溯法" class="headerlink" title="1、什么是回溯法"></a>1、什么是回溯法</h3><p>回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。</p>
<h3 id="2、回溯法的效率"><a href="#2、回溯法的效率" class="headerlink" title="2、回溯法的效率"></a>2、回溯法的效率</h3><p>回溯法的性能如何呢，这里要和大家说清楚了，<strong>虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法</strong>。</p>
<p><strong>因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案</strong>，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。</p>
<p>那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？</p>
<p>因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下，还没有更高效的解法。</p>
<h3 id="3、回溯法解决的问题"><a href="#3、回溯法解决的问题" class="headerlink" title="3、回溯法解决的问题"></a>3、回溯法解决的问题</h3><p>回溯法，一般可以解决如下几种问题：</p>
<ul>
<li>组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合</li>
<li>切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式</li>
<li>子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集</li>
<li>排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式</li>
<li>棋盘问题：N皇后，解数独等等</li>
</ul>
<p><strong>组合和排列的区别</strong></p>
<p>组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。</p>
<p>例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。</p>
<p>记住组合无序，排列有序，就可以了。</p>
<h3 id="4、如何理解回溯法"><a href="#4、如何理解回溯法" class="headerlink" title="4、如何理解回溯法"></a>4、如何理解回溯法</h3><p><strong>回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构</strong>，是的，我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构！</p>
<p>因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，<strong>集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度</strong>。</p>
<p>递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。</p>
<h3 id="5、回溯法模板【重点】"><a href="#5、回溯法模板【重点】" class="headerlink" title="5、回溯法模板【重点】"></a>5、回溯法模板【重点】</h3><ul>
<li>回溯函数模板返回值以及参数</li>
</ul>
<p>在回溯算法中，我的习惯是函数起名字为backtracking，这个起名大家随意。</p>
<p>回溯算法中函数返回值一般为void。</p>
<p>再来看一下参数，因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。</p>
<p>但后面的回溯题目的讲解中，为了方便大家理解，我在一开始就帮大家把参数确定下来。</p>
<p>回溯函数伪代码如下：</p>
<figure class="highlight plaintext"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">void backtracking(参数)</span><br></pre></td></tr></table></figure>

<p>1</p>
<ul>
<li>回溯函数终止条件</li>
</ul>
<p>既然是树形结构，就知道遍历树形结构一定要有终止条件。</p>
<p>所以回溯也有要终止条件。</p>
<p>什么时候达到了终止条件，树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。</p>
<p>所以回溯函数终止条件伪代码如下：</p>
<figure class="highlight java"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">if</span> (终止条件) &#123;</span><br><span class="line">    存放结果;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure>

<ul>
<li>回溯搜索的遍历过程</li>
</ul>
<p>在上面我们提到了，回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。</p>
<p>如图：</p>
<p><img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210130173631174.png" alt="回溯算法理论基础"></p>
<p>注意图中，我特意举例集合大小和孩子的数量是相等的！</p>
<p>回溯函数遍历过程伪代码如下：</p>
<figure class="highlight java"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">for</span> (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) &#123;</span><br><span class="line">    处理节点;</span><br><span class="line">    backtracking(路径，选择列表); <span class="comment">// 递归</span></span><br><span class="line">    回溯，撤销处理结果</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure>

<p>for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。</p>
<p>backtracking这里自己调用自己，实现递归。</p>
<p>大家可以从图中看出<strong>for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历</strong>，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。</p>
<p>分析完过程，回溯算法模板框架如下：</p>
<figure class="highlight java"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">void</span> <span class="title">backtracking</span><span class="params">(参数)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (终止条件) &#123;</span><br><span class="line">        存放结果;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span>;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">for</span> (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) &#123;</span><br><span class="line">        处理节点;</span><br><span class="line">        backtracking(路径，选择列表); <span class="comment">// 递归</span></span><br><span class="line">        回溯，撤销处理结果</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure>

<p><strong>这份模板很重要，后面做回溯法的题目都靠它了！</strong></p>
<p>如果从来没有学过回溯算法的录友们，看到这里会有点懵，后面开始讲解具体题目的时候就会好一些了，已经做过回溯法题目的录友，看到这里应该会感同身受了。</p>
 
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        <i class="ri-search-line"></i>
      </a>
      
      
      <a class="nav-item-link" target="_blank" href="/atom.xml" title="RSS Feed">
        <i class="ri-rss-line"></i>
      </a>
      
    </li>
  </ul>
</nav>
<div class="search-form-wrap">
  <div class="local-search local-search-plugin">
  <input type="search" id="local-search-input" class="local-search-input" placeholder="Search...">
  <div id="local-search-result" class="local-search-result"></div>
</div>
</div>
    </aside>
    <div id="mask"></div>

<!-- #reward -->
<div id="reward">
  <span class="close"><i class="ri-close-line"></i></span>
  <p class="reward-p"><i class="ri-cup-line"></i>请我喝杯咖啡吧~</p>
  <div class="reward-box">
    
    <div class="reward-item">
      <img class="reward-img" src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/Shen-Yu/cdn/img/alipay.jpg">
      <span class="reward-type">支付宝</span>
    </div>
    
    
    <div class="reward-item">
      <img class="reward-img" src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/Shen-Yu/cdn/img/wechat.jpg">
      <span class="reward-type">微信</span>
    </div>
    
  </div>
</div>
    
<script src="/js/jquery-3.6.0.min.js"></script>
 
<script src="/js/lazyload.min.js"></script>

<!-- Tocbot -->
 
<script src="/js/tocbot.min.js"></script>

<script>
  tocbot.init({
    tocSelector: ".tocbot",
    contentSelector: ".article-entry",
    headingSelector: "h1, h2, h3, h4, h5, h6",
    hasInnerContainers: true,
    scrollSmooth: true,
    scrollContainer: "main",
    positionFixedSelector: ".tocbot",
    positionFixedClass: "is-position-fixed",
    fixedSidebarOffset: "auto",
  });
</script>

<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/jquery-modal@0.9.2/jquery.modal.min.js"></script>
<link
  rel="stylesheet"
  href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/jquery-modal@0.9.2/jquery.modal.min.css"
/>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/justifiedGallery@3.7.0/dist/js/jquery.justifiedGallery.min.js"></script>

<script src="/dist/main.js"></script>

<!-- ImageViewer -->
 <!-- Root element of PhotoSwipe. Must have class pswp. -->
<div class="pswp" tabindex="-1" role="dialog" aria-hidden="true">

    <!-- Background of PhotoSwipe. 
         It's a separate element as animating opacity is faster than rgba(). -->
    <div class="pswp__bg"></div>

    <!-- Slides wrapper with overflow:hidden. -->
    <div class="pswp__scroll-wrap">

        <!-- Container that holds slides. 
            PhotoSwipe keeps only 3 of them in the DOM to save memory.
            Don't modify these 3 pswp__item elements, data is added later on. -->
        <div class="pswp__container">
            <div class="pswp__item"></div>
            <div class="pswp__item"></div>
            <div class="pswp__item"></div>
        </div>

        <!-- Default (PhotoSwipeUI_Default) interface on top of sliding area. Can be changed. -->
        <div class="pswp__ui pswp__ui--hidden">

            <div class="pswp__top-bar">

                <!--  Controls are self-explanatory. Order can be changed. -->

                <div class="pswp__counter"></div>

                <button class="pswp__button pswp__button--close" title="Close (Esc)"></button>

                <button class="pswp__button pswp__button--share" style="display:none" title="Share"></button>

                <button class="pswp__button pswp__button--fs" title="Toggle fullscreen"></button>

                <button class="pswp__button pswp__button--zoom" title="Zoom in/out"></button>

                <!-- Preloader demo http://codepen.io/dimsemenov/pen/yyBWoR -->
                <!-- element will get class pswp__preloader--active when preloader is running -->
                <div class="pswp__preloader">
                    <div class="pswp__preloader__icn">
                        <div class="pswp__preloader__cut">
                            <div class="pswp__preloader__donut"></div>
                        </div>
                    </div>
                </div>
            </div>

            <div class="pswp__share-modal pswp__share-modal--hidden pswp__single-tap">
                <div class="pswp__share-tooltip"></div>
            </div>

            <button class="pswp__button pswp__button--arrow--left" title="Previous (arrow left)">
            </button>

            <button class="pswp__button pswp__button--arrow--right" title="Next (arrow right)">
            </button>

            <div class="pswp__caption">
                <div class="pswp__caption__center"></div>
            </div>

        </div>

    </div>

</div>

<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/photoswipe@4.1.3/dist/photoswipe.min.css">
<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/photoswipe@4.1.3/dist/default-skin/default-skin.min.css">
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/photoswipe@4.1.3/dist/photoswipe.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/photoswipe@4.1.3/dist/photoswipe-ui-default.min.js"></script>

<script>
    function viewer_init() {
        let pswpElement = document.querySelectorAll('.pswp')[0];
        let $imgArr = document.querySelectorAll(('.article-entry img:not(.reward-img)'))

        $imgArr.forEach(($em, i) => {
            $em.onclick = () => {
                // slider展开状态
                // todo: 这样不好，后面改成状态
                if (document.querySelector('.left-col.show')) return
                let items = []
                $imgArr.forEach(($em2, i2) => {
                    let img = $em2.getAttribute('data-idx', i2)
                    let src = $em2.getAttribute('data-target') || $em2.getAttribute('src')
                    let title = $em2.getAttribute('alt')
                    // 获得原图尺寸
                    const image = new Image()
                    image.src = src
                    items.push({
                        src: src,
                        w: image.width || $em2.width,
                        h: image.height || $em2.height,
                        title: title
                    })
                })
                var gallery = new PhotoSwipe(pswpElement, PhotoSwipeUI_Default, items, {
                    index: parseInt(i)
                });
                gallery.init()
            }
        })
    }
    viewer_init()
</script> 
<!-- MathJax -->

<!-- Katex -->

<!-- busuanzi  -->
 
<script src="/js/busuanzi-2.3.pure.min.js"></script>
 
<!-- ClickLove -->

<!-- ClickBoom1 -->

<!-- ClickBoom2 -->

<!-- CodeCopy -->
 
<link rel="stylesheet" href="/css/clipboard.css">
 <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/clipboard@2/dist/clipboard.min.js"></script>
<script>
  function wait(callback, seconds) {
    var timelag = null;
    timelag = window.setTimeout(callback, seconds);
  }
  !function (e, t, a) {
    var initCopyCode = function(){
      var copyHtml = '';
      copyHtml += '<button class="btn-copy" data-clipboard-snippet="">';
      copyHtml += '<i class="ri-file-copy-2-line"></i><span>COPY</span>';
      copyHtml += '</button>';
      $(".highlight .code pre").before(copyHtml);
      $(".article pre code").before(copyHtml);
      var clipboard = new ClipboardJS('.btn-copy', {
        target: function(trigger) {
          return trigger.nextElementSibling;
        }
      });
      clipboard.on('success', function(e) {
        let $btn = $(e.trigger);
        $btn.addClass('copied');
        let $icon = $($btn.find('i'));
        $icon.removeClass('ri-file-copy-2-line');
        $icon.addClass('ri-checkbox-circle-line');
        let $span = $($btn.find('span'));
        $span[0].innerText = 'COPIED';
        
        wait(function () { // 等待两秒钟后恢复
          $icon.removeClass('ri-checkbox-circle-line');
          $icon.addClass('ri-file-copy-2-line');
          $span[0].innerText = 'COPY';
        }, 2000);
      });
      clipboard.on('error', function(e) {
        e.clearSelection();
        let $btn = $(e.trigger);
        $btn.addClass('copy-failed');
        let $icon = $($btn.find('i'));
        $icon.removeClass('ri-file-copy-2-line');
        $icon.addClass('ri-time-line');
        let $span = $($btn.find('span'));
        $span[0].innerText = 'COPY FAILED';
        
        wait(function () { // 等待两秒钟后恢复
          $icon.removeClass('ri-time-line');
          $icon.addClass('ri-file-copy-2-line');
          $span[0].innerText = 'COPY';
        }, 2000);
      });
    }
    initCopyCode();
  }(window, document);
</script>
 
<!-- CanvasBackground -->
 
<script src="/js/dz.js"></script>
 
<script>
  if (window.mermaid) {
    mermaid.initialize({ theme: "forest" });
  }
</script>


    
    

  </div>
<script src="/live2dw/lib/L2Dwidget.min.js?094cbace49a39548bed64abff5988b05"></script><script>L2Dwidget.init({"log":false,"pluginJsPath":"lib/","pluginModelPath":"assets/","pluginRootPath":"live2dw/","tagMode":false});</script></body>

</html>